ಗಣಿತವೆಂಬ ಎಣಿಗಳ ಏಣಿ

– ರಗುನಂದನ್.

ಕೇಳ್ವಿ ,

ಒಂದು ವರುಶದ ಎಶ್ಟು ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ 28 ದಿನಗಳಿರುತ್ತವೆ ?

ಗಣಿತಗ್ನನ ಉತ್ತರ,

ಎಲ್ಲಾ ತಿಂಗಳುಗಳಲ್ಲಿ !

ಮೇಲಿನ ಗಣಿತಗ್ನನೊಬ್ಬನ ಉತ್ತರ ನಮಗೆ ಸೋಜಿಗವೆನಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಆ ಉತ್ತರ ಅಶ್ಟೇ ದೂಸರಿನಿಂದ (logic) ಕೂಡಿದೆ. ಅಂದರೆ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಲುವು (reasoning) ಮುಕ್ಯವಾದ ಸಲಕರಣೆ. ಹಾಗಾಗಿಯೇ ಅರಿಮೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಬೆಸೆದುಕೊಂಡಿರುವಂತಹ ಎರಡು ವಿಶಯಗಳಾಗಿವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅರಿಮೆಗಾರರು (scientists) ಅರಿಮೆಯ ವಿಶಯವೊಂದನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಬೇಕಾದರೆ ಅದನ್ನು ಮೊದಲು ಗಣಿತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಮಾರ‍್ಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಬಳಿಕ ಆ ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಬಗೆಹರಿಸಿ ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅರಿಮೆಯ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಹುರುಳಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಮೊಗಸುತ್ತಾರೆ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಂತೆ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮುಕ್ಯವಾಗಿ ಬೇಕಾಗಿರುವುದು ಅಂಕಿ/ಸಂಕ್ಯೆಗಳು. ಅಂದರೆ ಎಣಿಸುವುದೇ ಗಣಿತದ ಮೊದಲ ಹೆಜ್ಜೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

’ಎಣಿಕೆ/ಎಣಿಸು/ಎಣ್ಣು’ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಕನ್ನಡದಲ್ಲಿ ಈ ಬಗೆಯ ಹುರುಳುಗಳಿವೆ – counting, number, observation, to add together, enumerate, estimate, appreciate, consider, plan, compare, to count, think.

ಅಂಕಿ/ಸಂಕ್ಯೆ/Number ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಎಣಿ ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗೆ computer ಗೆ ಎಣ್ಣುಕ ಎಂಬುದು ಹೆಚ್ಚು ತಕ್ಕುದಾದ ಪದ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ಕೂಡುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವಿಕೆಯನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ಹೇಳಲು ಎಣಿಗೆರೆ ಒಂದು ಒಳ್ಳಯ ಹೊಲಬಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ತಿಟ್ಟ ನೋಡಿರಿ:

ಈ ಎಣಿಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯ(೦) ಎಡಗಡೆ ಇರುವ ಎಣಿಗಳಿಗೆ ಕಳೆಯುವ(subtracting) ತಲೆಗುರುತು(sign) ಕೊಡಲಾಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಸೊನ್ನೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಎಣಿಗಳನ್ನು ಕಳೆ-ತಲೆ/ಕಳ್ತಲೆ(negative) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ ಸೊನ್ನೆಯ ಬಲಗಡೆ ಇರುವ ಎಣಿಗಳು ಕೂಡುವ ತಲೆಗುರುತನ್ನು ತೋರುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಕೂಡು-ತಲೆ/ಕೂಡ್ತಲೆ(positive) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಬಗೆ ಬಗೆಯ ಎಣಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ,

1. ಸಹಜ ಎಣಿಗಳು (Natural Numbers): ಯಾವುದೇ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸಹಜ ಎಣಿಗಳೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.
N = {1, 2, 3, 4…}

2. ತುಂಬೆಣಿಗಳು (Integers): ಪಾಲು ಎಣಿಯ (fractional number) ಇಲ್ಲವೇ ಹತ್ತುಕದ (decimals) ರೂಪಗಳನ್ನು ಬಳಸದೇ ಬರೆಯಬಹುದಾದಂತ ಎಣಿಗಳನ್ನು ತುಂಬೆಣಿಗಳೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು. ಎಣಿಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಯ ಬಲಗಡೆ ಬರುವ ತುಂಬೆಣಿಗಳನ್ನು ಇಡಿ ಎಣಿಗಳು (whole numbers) ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ತುಂಬೆಣಿಗಳು, Z = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
ಇಡಿ ಎಣಿಗಳು, W = {1, 2, 3, 4…}

3. ಓರಬಲ್ಲ ಎಣಿಗಳು (Rational Numbers) – ಯಾವುದೇ ಎಣಿಯನ್ನು p/q ಎಂಬ ಪಾಲು ಎಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದೋ ಅದನ್ನು ಓರಬಲ್ಲ ಎಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು, ಆದರೆ ಕೆಳಮನೆ (denominator) q ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಾರದು (q≠0).

ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗದ ಎಣಿಗಳನ್ನು ಓರಲಾಗದ/ನೇರ‍್ಪಲ್ಲದ ಎಣಿಗಳೆಂದು (Irrational Numbers) ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. √2 ಎಂಬುದನ್ನು ಪಾಲು ಎಣಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಾಗಲೀ ಇಲ್ಲವೇ ಹತ್ತುಕಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಾಗಲೀ ತೋರಿಸಲಾಗದ ಸಲುವಾಗಿ ಅದನ್ನು ಓರಲಾಗದ ಎಣಿ ಎಂದು ಗುರುತಿಸುತ್ತಾರೆ.

4. ದಿಟವೆಣಿಗಳು (Real Numbers) – ಒಂದು ಎಣಿಗೆರೆಯ (Number Line) ಮೇಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ಎಣಿಯೆನ್ನು ದಿಟವೆಣಿ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಇದರಲ್ಲಿ ಓರಬಲ್ಲ ಎಣಿಗಳು, ಕಳ್ತಲೆ ಎಣಿಗಳು(negative numbers), π ಮತ್ತು e ಕೂಡ ಸೇರುತ್ತವೆ.

5. ಬೆಸೆದ/ಬೆರಕೆ/ಕಲೆತ ಎಣಿಗಳು (Complex Numbers) – “-1″ ಎಣಿಯ ಇಬ್ಬೇರನ್ನು (square root) ಬಳಸಿ ಕೆಲವು ಸಿಕ್ಕಲಾದ ಗಣಿತದ ವಿಶಯಗಳನ್ನು ಸುಳುವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. √-1 ಗೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ i (imaginary unit) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಈ ಬಗೆಯ ಎಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಾಗಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಒಂದು ದಿಟವಾದ ಬಾಗ(Real part) ಮತ್ತೊಂದು ತೋಚಿಕೆಯ ಬಾಗ(Imaginary part). ಇವೆರಡೂ ಬೆರೆತಿರುವ ಎಣಿಗಳನ್ನು ಬೆರಕೆ ಎಣಿಗಳೆಂದು ಕರೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ತಿಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಎಣಿಗಳ ಬಗೆಗೆಳು ಹೇಗೆ ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಹೊಂದುಕೊಂಡಿವೆ ಎಂದು ಕಾಣಬಹುದು.