ಮೂರು ಒಡಲುಗಳ ಚಲನೆಯ ತೊಡಕು

ಡಾ. ಮಂಡಯಂ ಆನಂದರಾಮ.

ಹಿಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಸೂರ‍್ಯ-ಗುರು ಮುಂತಾದ ದೊಡ್ಡ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ಸೆಳೆತ ಇರುವ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಟ್ರೋಜನ್ ಮುಂತಾದ ಸಣ್ಣ ಒಡಲುಗಳ ಚಲನೆಯು ಮೂರು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಡಲುಗಳ ಒಂದಕ್ಕೊಂದರ ಸೆಳೆತದಿಂದಾದ ವಿಶೇಶವಾದ ಚಲನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುಪಡಿಸಿದ ಮೂರು ಒಡಲುಗಳ ತೊಡಕು (Restricted Three Body Problem, RTBP) ಎಂದು ಬಾನರಿಗರು ಗುರುಟಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇಲ್ಲಿ ಹೇಳಿದ ಕಟ್ಟುಪಾಡು ಏನೆಂದರೆ ಆ ಮೂರನೇ ಒಡಲಿನ ನಿಲುರಾಶಿಯು ಉಳಿದೆರಡು ದೊಡ್ಡ ಒಡಲುಗಳ ನಿಲುರಾಶಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ತೀರಾ ಕಡಿಮೆ ಇರಲೇಬೇಕು ಎಂಬುದು. ಈ ಕಟ್ಟುಪಾಡಿನ ಮುಕ್ಯವಾದ ಅನುಕೂಲ ಎಂದರೆ ಆ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಅದು ಉಳಿದೆರಡು ದೊಡ್ಡ ಒಡಲುಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀರುವ ತನ್ನ ಕಡೆಗಣಿಸಬಲ್ಲ ಸೆಳೆತದಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಚಲನೆಯಲ್ಲಿ ಮಾರ‍್ಪಾಟನ್ನುಂಟು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ.

ಇದಲ್ಲದೆ ಜಾಕೋಬಿ ಎಂಬಾತನು ಕಂಡುಹಿಡಿದಂತೆ ಅದು ತನ್ನ ಒಂದು ನಿಕ್ಕಿಯಾದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಗುವಾಗ ಅದರ ಚಲನೆಯ ಅಡಕ ಶಕ್ತಿ (potential energy) ಮತ್ತು ಕದಲಿಕೆಯ ಶಕ್ತಿ (kinetic energy)ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆ ಚಲನೆಯ ಪ್ರತೀಕವಾಗಿ ಒಂದು ಮಾರ‍್ಪಿಲದಂತೆ (constant of the motion) ಇರುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಹಲವು ಅನುಕೂಲಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಈ RTBP ಬಗೆಯು ಆಸಕ್ತರಿಗೆ ಅಚ್ಚುಮೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಇನ್ನೂ ಸುಲಬದ ಮಟ್ಟಸದಲ್ಲಿನ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಮೂರು ಒಡಲುಗಳ ತೊಡಕಿನ (Planar Circular RTBP, PCRTBP) ಬಗ್ಗೆಯ ಓದು, ಕಾಲೇಜು ಮಟ್ಟದ ವಿದ್ಯಾರ‍್ತಿಗಳಿಗೂ ಸುಲಬವಾಗಿ ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಇಲ್ಲಿ ಕುತೂಹಲವುಳ್ಳ ಆಸಕ್ತರು ತಮ್ಮ ಕಂಪ್ಯೂಟರಿನಲ್ಲೇ ಟ್ರೋಜನ್ ಮುಂತಾದ ಸಣ್ಣ ಒಡಲುಗಳ ಚಲನೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡಿ ನೋಡುವುದಕ್ಕಾಗಿ PCRTBPಗೆ ಸಂಬಂದಿಸಿದ ಬಯಲಿನ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಆಗುವ ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪು(acceleration)ಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿ ಕೊಡಲಾಗುವುದು. ಮೊದಲಿಗೆ ಈ CRTBPಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎರಡು ದೊಡ್ಡ ಒಡಲುಗಳ ಒಂದರಮೇಲೊಂದರ ಸೆಳೆತದಿಂದಾಗಿ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಓರೆ ಬಿರುಸು (angular velocity, radians / time) Ω ಎಂದೂ, ಆ ಒಡಲುಗಳ ಒಟ್ಟು ನಿಲುರಾಶಿಯು M = M1 + M2 ಎಂದೂ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಸರಾಸರಿ ಅಂತರವು R ಎಂದೂ ಇದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಸಂಬಂದವು (1)ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಕೆಪ್ಲರ್ ಮತ್ತು ನ್ಯೂಟನ್ ಚಲನೆಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನಡೆಯುತ್ತದೆ.

Ω²R³ = G(M₁ + M₂)

(ಇಲ್ಲಿ G = 6.67428 * 10⁻¹¹ SI unit)

ಈ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ಚಲನೆಯೊಂದಿಗೆ ಆ ಮೂರನೇ ಒಡಲಿನ ಚಲನೆಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಿಕ್ಕಲಾಗಿದ್ದು ಆ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ನಿಕ್ಕಿಯಾದ ಚಲನೆಯನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿದರೆ ಆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಕಂಪ್ಯೂಟರಿನಲ್ಲೂ ಬೇಗ ನಡೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಮಾರ‍್ಪಾಡನ್ನು ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿ ಕೊಡಲಾಗಿದೆ.

ಮೊದಲು ಈ ಎರಡು ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ನಿಲುರಾಶಿಗಳ ನಡುವನ್ನು (centre of mass) ಅಚ್ಚುಗೆರೆಗಳ ಏರ‍್ಪಾಡಿನ ಹುಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ (origin of xyz-coordinate system) ನೆಲೆಗೊಳಿಸಿ ಅದರ x-ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯ ಮೇಲೆ ಆ ಹುಟ್ಟಿನ ಎಡಕ್ಕೆ M₁ ಅನ್ನೂ ಬಲಕ್ಕೆ M₂ ಅನ್ನೂ ಕೆಳಗೆ ತೋರಿಸಿರುವ ದೂರಕ್ಕೆ ಇಡಬೇಕು

R₁ = (-μ₂R, 0, 0), R₂ = (μ₁R, 0, 0)                 (2)

ಇಲ್ಲಿ ನಿಲುರಾಶಿ ಬಾಗಗಳು μ₁ = M₁/M, μ₂ = M₂/M, ಹಾಗೂ μ₁ + μ₂ = 1 ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ಈ ಎರಡು ಒಡಲುಗಳೂ ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದಂತೆ ಪರಸ್ಪರ ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಿರಿತ್ತಿದ್ದು ಆ ಮೂರನೇ ಸಣ್ಣ ಒಡಲಿನ ರಾಶಿ mಅನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತವೆ. ಆ ಸುತ್ತಿವಿಕೆಯನ್ನು ಅವುಗಳಿರುವ ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯ ಏರ‍್ಪಾಡಿಗೆ ತಂದಿಟ್ಟರೆ ಆ ಇಡೀ ಏರ‍್ಪಾಡೇ ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಿರುತ್ತ (corotating system) ಇದ್ದು ಈ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳು ನಿಂತಂತಿರುತ್ತವೆ. ಈಗ ನ್ಯೂಟನ್ನನ ಚಲನೆಯ ಕಟ್ಟಲೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಏರ‍್ಪಾಡಿನ ಹುಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ r = (x,y,z) ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಆ ಕಿರು ಒಡಲಿನ ರಾಶಿಯ ಮೇಲಿನ ಸೆಳೆತವು ಈ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳಂತೆ ಇರುತ್ತವೆ.

(3)

ಎಂದಿಟ್ಟುಕೊಂಡರೆ ಆ ಈ ಸೆಳೆತವು (ಈ ಬಗ್ಗೆ ಕ್ಲಾಸಿಕಲ್ ಮೆಕಾನಿಕ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕಗಳನ್ನು ನೋಡಿಕೊಳ್ಳಿ)

(4)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ.ಇದರಲ್ಲಿ ಕಿರುಕಾಯದ ಬಿರುಸು  ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ (4)ರ ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂರು ಬಾಗಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಅರಿಯಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯ ಸೆಳೆತವು m ಮೇಲೆ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ಸೆಳೆತದಿಂದ ಆದುದು. ಎರಡನೆಯ ಸೆಳೆತವು ಆ ಒಡಲುಗಳಿರುವ ಅಚ್ಚುಗೆರೆಗಳ ಏರ‍್ಪಾಡಿನ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯಿಂದ ಉಂಟಾಗಿರುವ m ಮೇಲಿನ ನಡುತೊರೆತದ ಬಲವಾಗಿದೆ (centrifugal force). ಇದು ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಲ ಎಂದು ಹೆಸರು ಪಡೆದಿದೆ.

ಈ ಸೆಳೆತಗಳ ಮೂರು ಬಾಗಗಳನ್ನು ಬೇರ‍್ಪಡಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಆ ಕಿರು ಒಡಲಿನ ಚಲನೆಯು ಹೇಗೆ ಮುಂದೆ ಸಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಲು ಆಗುತ್ತದೆ. ಈಗ (4)ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕಡೆಯೂ ಇರುವ mಅನ್ನು ತೆಗೆದು ಬಿಟ್ಟಾಗ ಉಳಿಯುವ ಅದರ ಒಟ್ಟು ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪು  ಕೆಳಗಿರುವಂತೆ ಆಗುತ್ತದೆ.

   (5)

ಇದರ ಬಲಗಡೆಯಿರುವ ಮೂರು ಬಾಗಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ಸೆಳೆತಗಳಿಂದಾದ ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪುಗಳು ಎಂದು ಅರಿತುಕೊಂಡು ವೆಕ್ತರ್ ನಿಯಮಗಳ ರೀತಿ ಅವುಗಳ ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯ ಏರ‍್ಪಾಟಿನ ಬಾಗಗಳನ್ನು ಬೇರ‍್ಪಡಿಸಬಹುದು.

ಮೊದಲಿಗೆ ಈ PCRTBP ಏರ‍್ಪಾಡಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಚಲನೆಗಳೂ x-y ಚಲನೆಗಳ ಬಯಲಿನಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರವೇ ಇವೆ ಎಂದು ಕಟ್ಟಲೆಯಿರುವುದರಿಂದ ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳ ಓರೆ ಚಲನೆಯು z-ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿರುವುದರಿಂದ ಅದರ ಮೂರು ಬಾಗಗಳು  ಆಗಿವೆ. ಹಾಗೆಯೇ ಆ ಕಿರು ಒಡಲಿನ ದೂರವೂ  ಮತ್ತದರ ಬಿರುಸು   ಎಂತಿರುವುದರಿಂದ ಇವನ್ನೆಲ್ಲ (5)ರಲ್ಲಿ ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಬಿಡಿಸಿದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಬಾಗಗಳು ಹೀಗೆ ಆಗುತ್ತವೆ:

ಇವನ್ನೆಲ್ಲ ಪ್ರತಿ ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯಲ್ಲೂ (5)ರಂತೆ ಜೋಡಿಸಿಕೊಂಡಾಗ ನಮಗೆ ಬೇಕಾದ ಕಿರು ಒಡಲಿನ ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪುಗಳನ್ನು ಎಂಬಂತೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದಾಗಿದೆ. ಕೋರಿಯೋಲಿಸ್ ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪಿನ ಸಮೀಕರಣ (8)ರ ಬಲಗಡೆ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ x-ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ y-ದಿಕ್ಕಿನ ಬಿರುಸೂ ಮತ್ತು y-ಅಚ್ಚುಗೆರೆಯಲ್ಲಿ x-ದಿಕ್ಕಿನ ಎದುರು ಬಿರುಸೂ ಇವೆ ಎಂದು ತಿಳಿಯುತ್ತದೆ. ಈಗ ಈ ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಸರಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಅದೇನೆಂದರೆ G = M = R = 1 ಎಂದು ನಿಗದಿ ಮಾಡುವುದು. ಆಗ ಸಮೀಕರಣ (1)ರ ಪ್ರಕಾರ ಓರೆಬಿರುಸು (angular velocity), Ω = 1 ಎಂದಾಗುವುದರಿಂದ ಆಗ ಆ ದೊಡ್ಡ ಒಡಲುಗಳ ಸ್ವಂತ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಹೊತ್ತು (orbital period) T = 2π / Ω = 2π ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗೆ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ G, M, R ಮತ್ತು Ωಗಳನ್ನು ಒಂದೆಂದು ಬಗೆದ ಮೇಲೆ ಆ ಸಣ್ಣ ಒಡಲಿನ ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪುಗಳು ಇಂತಿರುತ್ತವೆ.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ದೂರಗಳು Rನ ಅಳತೆಗೋಲಿನಲ್ಲೂ, ಬಿರುಸುಗಳು R/T ಯ ಅಳತೆಗೋಲಿನಲ್ಲೂ ಮತ್ತು ಬಿರುಸುಮಾರ‍್ಪುಗಳು R/T/T ಅಳತೆಗೊಲಿನಲ್ಲಿ ಇದ್ದು ಇವುಗಳಲ್ಲಿಯೇ ಬಲಗಡೆಯಲ್ಲಿ ತುಂಬಬೇಕಾದ ಆರಂಬದ ಬೆಳೆಗಳನ್ನು ನೀಡಬೇಕು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿ ಕೊಡಬಹುದು. ಈ ಅಳತೆಗೋಲುಗಳು ಸೂರ‍್ಯ-ಗುರು ಜೋಡಿ ಒಡಲುಗಳಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕತೆ ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಕೆಳಗೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅವುಗಳ ಪರಿಮಾಣ (parameter values) ಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ದೂರ, ಬಿರುಸು ಮುಂತಾದುವನ್ನು ಗುಣಿಸಬೇಕು.

{ಗುರುವಿನ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ದೂರ: R = 7.783*10¹¹ m = 5.2 Astronomical units
ಗುರುವಿನ ಸುತ್ತುವಿಕೆಯ ಕಾಲ: T = 3.743 * 10⁸ seconds = 4332.589 days = 11.8592 years
ಗುರುವಿನ ನಿಲುರಾಶಿಯ ಅಂಶ: μ₂ = 0.000953875; ಸೂರ‍್ಯನದು: μ₁ = 1 – μ₂ } —- (11)

(ಚಿತ್ರ ಸೆಲೆ: cnes.fr)