’ಪಯ್’ ಗುಟ್ಟು ರಟ್ಟು ಮಾಡಿದ್ದ ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್

– ಗಿರೀಶ ವೆಂಕಟಸುಬ್ಬರಾವ್.

ಗೆರೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ (Geometry) ಮಟ್ಟಸ ಹೊರಪಾಂಗುಗಳಾದ (Plane Figures) ಚದರ (Square), ಉದ್ದಚದರ (Rectangle), ಹೊಂದಿಗೆಯಚದರ (Parallelogram) ಇವುಗಳ ಹರವನ್ನು(Area) ನಾವು ಸರಾಗವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ ಬಿಡಬಹುದು.

ಚದರಗಳಲ್ಲಿ ಹರವು, ಬದಿಯುದ್ದ * ಬದಿಯುದ್ದವಾದರೆ, ಉದ್ದಚದರಗಳಲ್ಲಿ ಹರವಿಕೆಯು ಉದ್ದ * ಅಗಲವಾಗುತ್ತದೆ. ಇನ್ನು ಹೊಂದಿಗೆಯಚದರಗಳಲ್ಲಿ ಹರವಿಕೆಯು, ಅಡಿಯುದ್ದ * ಎತ್ತರವಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಎಣಿಕೆಯಿಂದ ಬಗೆಬಗೆಯ ಮಟ್ಟಸ ಹೊರಪಾಂಗುಗಳ ಹರವನ್ನು ಚದರ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಚದರ ಅಳತೆ ಅಂದೊಡನೇ 30*40, 30*60 ನೆಲೆಗಳ (ಸಯ್ಟ್) ನೆನಪು ನಿಮಗಾಗಿರಬಹುದು 🙂

ಈಗ ಮಟ್ಟಸಹೊರಪಾಂಗುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರುವ ಸುತ್ತುಗಳನ್ನೂ (Circle) ಒಮ್ಮೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಬದಿಯನ್ನೇ ಹೊಂದಿರದ ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಹರವು (Area) ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು? ಸುತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಿಗುವುದು ದುಂಡಿಯೊಂದೇ (Radius). ದುಂಡಿಯನ್ನೇ ದುಪ್ಪಟ್ಟುಮಾಡಿದರೆ ಸಿಗುವುದು ದುಂಡಗಲ (Diameter). ಈ ದುಂಡಗಲಕ್ಕೂ ಸುತ್ತುಗಳ ದುಂಡಳತೆಗೂ (Circumference) ಇರುವ ಹೊಂದಿಕೆಯೇನು? ಆ ಹೊಂದಿಕೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುಗಳ ಹರವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದೇ? ಸುತ್ತುಗಳ ಈ ಗುಟ್ಟನ್ನು ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್‍ರು ರಟ್ಟುಮಾಡಿದ್ದ ಬಗೆಯನ್ನು ಈಗ ತಿಳಿಯೋಣ ಮತ್ತು ಆ ಅರಿವು ಗೆರೆಯರಿಮೆಗೆ ಹೇಗೆ ಅಡಿಪಾಯ ಹಾಕಿಕೊಟ್ಟಿತೆಂಬುದನ್ನು ಈ ಬರಹದಲ್ಲಿ ಅರಿಯೋಣ.

ಮೊದಲು ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್‍ರು ಸುತ್ತುಗಳ ದುಂಡಳತೆಗೂ ಹಾಗೂ ದುಂಡಗಲಕ್ಕೂ ಇರುವ ಹೊಂದಿಕೆ (Ratio) = ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲ ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ಕಯ್ ಹಾಕಿದರು. ಮಾರ‍್ಪರಿಮೆಯ (Calculus) ಹಾಗೂ ಮುಕ್ಕೋನದರಿಮೆಯ (Trigonometry) ಅರಿವೇ ಇಲ್ಲದ ಆ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಬರಿ ಗೆರೆಯರಿಮೆಯ ಪರಿಯನ್ನೇ ಹೇಗೆ ಬಳಸಿದರು ಅಂತಾ ನೋಡೋಣ:

1. ಒಂದು ಸುತ್ತಿನೊಳಗೆ ಮೂಲೆಗಳು ಸುತ್ತಿನ ಮೇಲೆ ಕೂರುವಂತೆ ಚದರವನ್ನು ರಚಿಸಿದರು, ಅದೇ ಸುತ್ತಿನ ಸುತ್ತ ತಾಗುವಂತೆ ಹೊರಚದರವನ್ನು ಎಳೆದರು. ಈ ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರಚದರಗಳ ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲದ ಹೊಂದಿಕೆಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಎಣಿಸತೊಡಗಿದರು.

ಆ ಎಣಿಕೆಯಿಂದ ತಿಳಿದದ್ದು,

2.8284 < ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲ < 4

ಗೆರೆಯರಿಮೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಇದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ ಬಗೆಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ತಿಟ್ಟದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ.

2. ಈ ಹೊಂದಿಕೆಯನ್ನು ಇನ್ನಶ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಿಸಲು, ಈ ಬಾರಿ ಒಂದು ಸುತ್ತಿನೊಳಗೆ ಮೂಲೆಗಳು ತಾಗುವಂತಾ ಒಂದು ಆರುಬದಿಯನ್ನು (Hexagon) ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್ ರಚಿಸಿದರು, ಅದೇ ಸುತ್ತಿಗೆ ತಾಗುವಂತೆ ಹೊರಗೆ ಮತ್ತೊಂದು ಆರುಬದಿಯನ್ನು ಎಳೆದರು.

ಈ ಒಳ ಮತ್ತು ಹೊರ ಆರುಬದಿಗಳ ಸುತ್ತಳತೆಯೊಂದಿಗೆ ದುಂಡಳತೆಯನ್ನು ಹೋಲಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ, ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲದ ಹೊಂದಿಕೆಯ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಿದರು ಆಗ ತಿಳಿದದ್ದು,

3 < ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲ < 3.46

ಗೆರೆಯರಿಮೆಯಿಂದ ಹಾಕಿದ ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ತಿಟ್ಟವನ್ನು ನೋಡಿ.

3. ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ ಬಂದ ನಂಬುಗೆಯಿಂದ ಮುಂದೆ ಹನ್ನೆರಡುಬದಿ, ಇಪ್ಪತ್ತನಾಲ್ಕುಬದಿ, ನಲವತ್ತೆಂಟುಬದಿ ಹಾಗು ತೊಂಬತ್ತಾರು ಬದಿಯನ್ನು ಸುತ್ತಿನ ಒಳಹೊರಗೆ ಬರೆದು, ಗೆರೆಯರಿಮೆಯಿಂದ ಎಣಿಸಿದಾಗ ಗುಟ್ಟುರಟ್ಟಾಗಿತ್ತು!

3.1408 < ದುಂಡಳತೆ/ದುಂಡಗಲ < 3.1428

ಇದೇ ಮುಂದಿನ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆ, ಗೆರೆಯರಿಮೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನಿತರ ಅರಿಮೆಯ ಕವಲುಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಹೆಚ್ಚುಗಾರಿಕೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತಾ ಬಂದಿರುವ ಪಯ್ (Pi) ಬೆಲೆ.

7 ಸೆಂ.ಮೀ ದುಂಡಳತೆ ಇರುವ ಸುತ್ತನ್ನು ರಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ಕತ್ತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಅದನ್ನು ಒಂದು ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯ ಅಂಚಿಗೆ ಒಂದು ಬಾರಿ ಉರುಳಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅಳತೆಪಟ್ಟಿಯ ಮೇಲೆ ಉರುಳುವ ದುಂಡಳತೆಯ ದೂರ 22 ಸೆಂ.ಮೀ. ಅದೇ 14 ಸೆಂ.ಮೀ ದುಂಡಳತೆ ಇರುವ ಸುತ್ತನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಉರುಳಿಸಿದರೆ ಅದು 44 ಸೆಂ.ಮೀ. ದುಂಡಳತೆಗೆ ಉರುಳುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿರುವ ತಿಟ್ಟನೋಡಿ.

ಇದರಿಂದ ದುಂಡಳತೆ ಹಾಗೂ ದುಂಡಗಲಕ್ಕೂ ಇರುವು ಹೊಂದಿಕೆ 22/7 ರಶ್ಟು ಅಂದರೆ ದುಂಡಳತೆ (C ) /ದುಂಡಗಲ (D ) = 22/7 ಎಂದು ನಾವು ಮಾಡಿನೋಡಿಯೂ ಅರಿಯಬಹುದು.

ಈ ಹೊಂದಿಕೆಗೆ ಗ್ರೀಕ್ ಬರಿಗೆ π (ಪಯ್) ಬಳಕೆ ಮಾಡಿದ್ದು 1706ರಲ್ಲಿ ವಿಲಿಯಂ ಜೋನ್ಸ್ ಎಂಬ ಎಣಿಕೆಯರಿಗ.

ಪಯ್ ಕುರಿತಾದ ಕೆಲವು ಆಸಕ್ತಿ ಮೂಡಿಸುವ ಹುರುಳುಗಳು:

• ಇದೊಂದು ನೇರ‍್ಪಲ್ಲದ (Irrational) ಎಣಿಕೆ. ಅಂದರೆ 22/7 ಎಣಿಸುತ್ತಾ ಹೋದಂತೆ ಕೊನೆಗಾಣದಂತೆ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗುತ್ತಿರುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಮರುಕಳಿಕೆ ತೋರದಂತೆ, ಗೊತ್ತುಗುರಿ ಇಲ್ಲದಂತೆ. ನೋಡಿ,

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286 208998628034825342117067982148086513282306647093

28ನೇ ಡಿಸೆಂಬರ್ 2013 ಪಯ್ ಹತ್ತರೆಣಿಕೆಯು ಎಣ್ಣುಕದ ನೆರವಿನಿಂದ 12,100,000,000,050 ಯುವರೆಗೂ ತಲುಪಿದೆ. ’ಪಯ್ ಬದುಕು’ (Life of Pi) ಎಂಬ ಓಡುತಿಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಪಿಸಾಯ್ನ್ ಪಟೇಲ್ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಹಲಗೆಯ ಮೇಲೆ ಬರೆಯುತ್ತಾ ಹೋಗಿದ್ದು ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹಲವರಿಗೆ ಈಗ ನೆನಪಾಗಿರಬಹುದು.

• 16 ಹಾಗೂ 17 ನೇ ನೂರುವರುಶಗಳಲ್ಲಿ ಎಣಿಕೆಯರಿಮೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಯಿಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳ (Infinite Series) ಅರಿವು ಮೂಡಿದಾಗ ಪಯ್ ಎಣಿಕೆಯು ಇನ್ನಶ್ಟು ಕರಾರುವಕ್ಕಾಗಿ ಹದಿನಯ್ದು ಹತ್ತೆಣಿಕೆಗೆ ಎಣಿಸುವ ಅಡಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು.

• ನಮ್ಮ ನಾಡಿನ ಬಾನರಿಗರಾದ ನೀಲಕಂಟ ಸೋಮಯಾಜಿಗಳು, ಎಣಿಕೆಯರಿಗರಾದ ಮಾದವ ಮತ್ತು ರಾಮಾನುಜಮ್ ಕೂಡಾ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸುವ ಅಡಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

• ಈಜಿಪ್ಟಿಗರಿಗೂ ಚೀನೀಯರಿಗೂ ಪಯ್ ನ ಅರಿವು ಇತ್ತೆಂದು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

• ಜಗತ್ತು ಪ್ರತಿ ವರುಶ 14 ನೇ ಮಾರ‍್ಚ್ ನಂದು ಪಯ್ ನಾಳು (Pi Day) ಎಂದು ಆಚರಿಸಿ, ಅದರ ಹಿರಿಮೆಯನ್ನು ನೆನೆಯುತ್ತದೆ. 1879 ರ ಪಯ್ ನಾಳು ಅರಿಮೆಗಾರ ಆಲ್ಬರ‍್ಟ್ ಅಯ್ನಸ್ಟೀನ್‍ರ ಹುಟ್ಟಿದ ದಿನ!

• ಪಯ್ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ಕೊಂಚ ತಪ್ಪುಂಟಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು, ಹಲವು ವರುಶಗಳ ಹಿಂದೆ ಪಯ್ ನ ಬದಲಿಗೆ ಟವ್ ಬಳಸುವ ಮಾತುಗಳು ಕೇಳಿ ಬಂದಿದ್ದು. ಅದು ಬಲಪಡೆಯದೇ ಪಯ್‍ಯೇ ಮುಂದುವರೆಯುತ್ತಿದೆ.

ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್‍ರು ಬಿಡಿಸಿದ ಸುತ್ತುಗಳ ಈ ಗುಟ್ಟು ಹೇಗೆ ಸುತ್ತುಗಳ ಹರವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲು ನೆರವಾಯಿತು ಎಂದು ಮತ್ತು ಉರುಳೆಗಳ (Cylinder) ಉಂಡೆಗಳ(Sphere) ಆಳವಿಯ ಹೊಂದಿಕೆ ಆರ‍್ಕಿಮಿಡೀಸ್‍ರು ನೀಡಿದ ಅಡಕಗಳ ಕುರಿತು ಮುಂದಿನ ಬರಹದಲ್ಲಿ ತಿಳಿಯೋಣ.